Stufenlogik - eine tragfähige neue Logikalternative?

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    • Stufenlogik - eine tragfähige neue Logikalternative?

      Hallo,

      schon seit ca. 15 Jahren entwickele ich eine eigene, neue Logik,
      die “Stufenlogik”, bei der ich zur klassischen Aussagenlogik
      noch einen zusätzlichen Parameter - die Stufe – hinzugenommen habe.

      Anfangs wollte ich damit nur Lösungsmöglichkeiten zum Lügnesaatz untersuchen,
      und es war mir gar nicht so klar, dass eine neue Logik auch Auswirkungen
      auf Mengenlehre, Arithmetik und Mathematik hat,
      und insbesondere Sätze von Cantor und Gödel relativierte.

      Auch wenn ich die Mathematiker nicht aus Hilberts Paradies vertreiben wollte,
      spätestens mit meiner Stufenmengenlehre gab es eine neue Alternative.
      Denn in allen Beweisen wird (meist stillschweigend) eine (klassische) Logik vorausgesetzt
      und wie sich zeigte, sind v.a. Widerspruchsbeweise in meiner neuen Logik
      nicht mehr gültig, obwohl sie prinzipiell Widerspruchsbeweise zulässt.

      Ich zweifele also die klassischen Beweise der genannten Größen gar nicht an,
      sondern ändere die “Spielregeln”.

      Das liegt an einer neuen Dimension, der “Stufe”, die ich in der Aussagenlogik eingeführt habe.
      Aussagen sind nicht mehr wahr oder falsch, sondern in einer Stufe k= 0,1,2,3, ... wahr oder falsch.
      Und die Wahrheitswerte von Aussagen in Stufe k+1 können nur von Werten
      aus kleineren Stufen k, k-1, ...,0 abhängig sein.

      Diese Logik nannte ich “Stufenlogik” und machte sie zudem dreiwertig,
      mit drittem Wahrheitswert “unbestimmt”.
      Es gilt die Startregel: In Stufe 0 sind alle Aussagen unbestimmt (=u).

      Zu einer Aussage A gehört der (unendliche) Wahrheitswertvektor
      (W(A,0)=u, W(A,1), W(A,2), W(A,3), ...)
      So lässt sich eine Lügneraussage L konstruieren:
      W(L, k+1) := w wenn ( W(L,k) = f oder W(L,k) =u ) und W(L,k+1=f sonst)

      Ws gilt W(L.0)=u, W(L,1)=w (wenn (W(L,0)=u), W(L,2)=f, W(L,3)=w, ...
      L hat also einen mit den Stufen k alternierenden Wahrheitswert W(L,k)
      was in der Stufenlogik erlaubt ist und nicht widersprüchlich.

      Mittels Stufenlogik lässt sich eine enfache Mengenlehre definieren (im Vergleich zu ZFC).

      Um z.B. Cantors Diagonalisierung untersuchen zu können,
      definierte ich mir eine Stufenmengenlehre.

      Grundidee: Menge M1 ist Element einer Menge M in Stufe t+1,
      Wenn eine Stufenaussage über M1 in Stufe t wahr ist,
      also wenn M1 eine Eigenschaft in Stufe t hat.

      Das ist bis auf die Stufen der Ansatz der naiven Cantorschen Mengenlehre.
      Diese Mengenlehre hat einige hübsche Eigenschaften:
      Die All-Menge lässt sich als Menge definieren
      (Als Element-Eigenschaft wählen wir z.B. „wahr ist wahr in Stufe t“,
      das unabhängig von M1 immer gilt für t>=1).

      Die Russell-Menge ist dank der Stufen nicht mehr paradox.

      Und der Cantorsche Diagonalbeweis läuft ebenfalls dank der Stufen ins Leere.

      Da die All-Menge gleich ihrer Potenzmenge (=Menge aller Teilmengen) ist (für jede Stufe t+1),
      zeigt die Identität als Bijektion, dass der Satz von Cantor
      in der Stufenmengenlehre nicht mehr gilt.

      Noch habe ich keinen Widerspruch oder ein Paradoxon
      in der Stufenlogik/mengenlehre gefunden,
      daher können die Zusätze zur Mengenlehre a la ZF weggelassen werden,
      die (zugegeben etwas sperrigen) Stufen scheinen als Heilmittel schon ausreichend.
      Überabzählbare Mengen sind nicht mehr nötig, was Hilbert wohl nicht gefallen würde.
      Aber mich erinnern die Künste mit (nicht erreichbaren) Kardinalzahlen und Ordinalzahlen
      an die Ptolomäischen Epizykel …

      Es lässt sich mit Stufenmengenlehre eine Arithmetik entwickeln,
      aber mit einem Unterschied zur klassischen:

      Die Primfaktorenzerlegung ist in verschiedenen Stufen nicht notwendigerweise gleich.
      Damit könnten wir evtl. experimentell prüfen, in welcher Art Welt wir leben:


      Nimmt man an, dass sich die physikalische Welt in einer Stufe befindet,
      die sich bei Wechselwirkung (außer Gravitation) erhöht,
      so erhöht sich die Stufe quasi durch Abwarten (das ist aber ziemlich spekulativ).

      Wenn wir mit einem Computer die Primzahlzerlegung eine (großen) Zahl zur Zeit t bestimmen
      und das zur Zeit t+r wiederholen
      (in der wegen inzwischen erfolgter Wechselwirkungen sich auch die Stufe erhöht hat)
      und sich beim zweiten Versuch eine andere Primzahlzerlegung ergibt,
      wäre unserer Welt wohl wahrscheinlicher stufenlogisch als klassisch logisch.
      Wie groß die Zahlen/Computer dazu sein müssten weiß ich leider nicht.

      Die andere Konsequenz der unterschiedlichen Primzahlzerlegungen ist,
      dass wahrscheinlich die Gödelschen Unvollständigkeitssätze mit Stufenlogik
      nicht mehr gelten (auch die fehlende Überabzählbarkeit deutet in diese Richtung).
      Einen vollständigen Beweis dazu habe ich noch nicht.
      (Wäre eine schöne akademische Arbeit …).

      Wer neugierig auf die Stufenlogik geworden ist,
      hier ein paar Links:

      Zunächst zwei zu Prof. Ulrich Blaus „Reflexionslogik“, der diese (Teil-)Vorgängerlogik
      nur für reflexive Satze zur Stufenlogik schon 20 Jahre früher
      (und sehr detailliert) entwickelte:

      ivv5hpp.uni-muenster.de/u/rds/blau_review.pdf

      link.springer.com/chapter/10.1007/978-94-017-1456-3_20

      Zu Stufenlogik mit vielen Details:
      philosophie-raum.de/index.php/…one-reloaded-Vortrag-APC/

      Man kann auch mit “Trestone” “Stufenlogik” im Netz suchen (Mit “layer logic” in Englisch).


      Viel Spass beim Stöbern im “Stufen-Paradies“!

      Vielleicht können wir die Stufenlogik ja weiterentwickeln
      (oder jemand findet einen Gegenbeweis/Widersprüche).

      Gruß
      Trestone
    • Hallo,

      dieStufenmengenlehreist eine wichtige (und wie ich finde schöne) Ergänzung
      der Stufenlogik.

      Ich will daher ihre Grundprinzipien noch einmal aufführen
      (damit man nicht so lange suchen muss),
      ohne allerdings eine akademisch komplette Merngenlehre zu entwerfen.
      das überlasse ich gerne anderen.

      Der Grundansatz für die Stufenmengenlehre ist der folgende:

      M1: Mengenelementdefinition:
      (Die Menge) x ist von Stufe s+1 aus gesehen Element der Menge M genau dann
      wenn x von Stufe s aus gesehen die Eigenschaft A(x) hat.
      Bis auf die Stufen also ähnlich der klassischen Mengenlehre.

      Statt „x e M wenn Eigenschaft A(x) gilt“ wird also „x e M (in Stufe s+1)“ mittels
      „x hat Eigenschaft A(x) in Stufe s“ betrachtet.
      So werden die Stufen (der Stufenlogik) in die (Stufen-)Mengenlehre übernommen.

      Eine Menge M in der Stufenmengenlehre ist also etwas anderes (und komplexeres)
      als eine klassische Menge,
      denn sie hat Stufen und kann in jeder Stufe andere Elemente haben.

      Andererseits wird sich zeigen, dass sich mit dieser Art Mengen
      vieles einfacher beschreiben lässt und man z. B. keine Klassen mehr benötigt.

      Für an formaler Logik/Mathematik Interessierte führe ich die Grundregeln
      der Stufenmengenlehre noch einmal auf.
      Andere können zu „Eigenschaften und Beweise:“ weiterblättern
      und das unter „Zu Cantors Diagonalbeweis:“ überspringen.


      M1: Mengenelementdefinition
      (Die Menge) x ist von Stufe t+1 aus gesehen Element der Menge M
      genau dann
      wenn x von Stufe t aus gesehen die Eigenschaft A(x) hat.
      Genauer: Der Wahrheitswert von „x e M“ in Stufe t+1
      ist der Wahrheitswert von A(x) in Stufe t.

      Vt >=0: Vx VM: W(x e M,t+1):= W(A(x),t)

      M2: Mengen zu Aussagen:
      Zu jeder stufenlogischen Aussage A(x) über beliebige Stufenmengen x
      gibt es eine Stufenmenge M,
      die für alle t=0,1,2,3,… die Elementgleichung erfüllt:
      W(x e M, t+1) := W(A(x), t)

      M3a: Direktmengen:
      Zu jeder Eigenschaft A(x) gibt es also eine Menge M.
      Wir bezeichnen Mengen, die eine solche t+1-Darstellung über A(x) und t besitzen als“Direktmengen“.

      M3b: Metamengen:
      Sei F eine logische Funktion (meist Metaaussage)
      (wie z.B. Negation, Identität oder logische Konstante w,-w,u,
      z.B. F o W (xeM1,t) := „W(xeM1,t)=u“ ).

      W(x e M, t+1) := W ( F o W(x e M1, t), 1) definiert eine (Meta-)Menge M
      (wobei auch M1=M erlaubt ist.)
      Man beachte, dass für F keine All-Aussagen oder Existenzaussagen zu allen Stufen zugelassen sind.
      Folge zu Stufe 1 aus M3a/M3b:
      Für alle x und Direktmengen M gilt: W(x e M, 1) = u.
      Von Stufe 1 aus sind alle Direktmengen unbestimmt (denn W(A(x),0)=u gilt ja stets).
      Metamengen können in Stufe 1 auch w oder –w als Wert für Elemententhaltung haben.

      M4: Stufenmengen:
      Die in M1-M3b beschriebenen Mengen (und (zunächst) nur diese)
      bilden die Menge der Stufenmengen.


      M5: Mengengleichheit:
      Stufenmengen M1 und M2 sind gleich, wenn“x e M1“ und „x e M2“
      in allen Stufen für alle Stufenmengen x gleiche Werte hat.

      Für alle d>=0: W(M1=M2, d+1) = W ( Für alle t gilt: W(xeM1,t) = W(xeM2,t) , 1 )
      Insbesondere gilt: W(M=M, d+1)=w für d>=0.
      Mengengleichheit ist eine Metaaussage die in allen Stufen d+1>=1 entweder w oder –w ist.

      M6: Leere Menge 0:
      Für die leere Menge 0 ist jede Menge in jeder Stufe >0 Nichtelement.
      Vt>0: W(x e 0, t) := -w und W(x e 0, 0) := u.

      M7: All-Menge All:
      Für die All-Menge All ist jede Menge in jeder Stufe >0 Element.
      Vt>0:W(x e All, t) := w und W(x e All, 0) := u.

      M8: Unbestimmte Menge U:
      Für die unbestimmte Menge U ist jede Menge in jeder Stufe
      weder Element noch Nichtelement.

      Vt>=0: W(x e U, t) := u (= W(u,t)). (U ist eine Direktmenge)

      M9: Verknüpfungsregeln:
      Sei jeweils W(x e M1, t+1)=W(A1(x), t) und (x e M2, t+1)=W(A2(x), t).
      Dann gilt:
      W(x e M1 v M2 , t+1) := W( A1(x) v A2(x) , t ) = W(x e M1, t+1) v W(x e M2, t+1)
      W(x e M1 und M2 , t+1) := W( A1(x) und A2(x) , t ) = W(x e M1, t+1) und W(x e M2, t+1)
      W(x e All – M, t+1) = W(w und – A(x), t)
      W(x e M1 – M2, t+1) = W(A1(x) und – A2(x), t)

      Natürliche Zahlen und Arithmetik:

      N1: Definition Nachfolgerfunktion M+ zu Stufenmenge M
      (zur Konstruktion natürlicher Zahlen):

      Vt>0: W(x e M+, t+1) := W(x e M, t+1) v W(x=M,1)
      Betrachten wir die 0: W(x e 0,t)= f für t>0. „Null“ ist also ab t=1 leer (stufenunabhängig).
      1=0+ : W(x e 0+, t+1) = W(x e 0, t+1) v W(x=0,1) = W(x=0,1)
      Eins“ enthält also ab t=1 genau das eine Element „Null“
      Allgemein: n+ enthält in Stufe t>0 genau die Elemente n, n-1, …,1,
      DieAdditionlässt sich nun auch analog dem klassischen Vorgehen definieren:
      W( x e n + m+, t+1 ) := W( x e (n+m)+, t+1 ) = W( x e (n+m),t) v W(x=(n+m),1)
      Bei der Multiplikationist ein wenig schwieriger:
      W( x e n*m+, t+1 ) := W( x e n*m + n, t+1) = W(x e (n*m + n-1)+, t+1 ) = W( x e (n*m + n-1), t) v W(x = (n*m + n-1),1)
      Der Beweis zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung klappt wegen Stufenwechseln nicht mehr.

      Eigenschaften und Beweise:

      Ein Beispiel ist die RussellmengeR mit „x ist Element von R in Stufe s+1,
      wenn x nicht Element von sich selbst in Stufe s ist“.
      R e R ist in Stufe 0 unbestimmt, in Stufe 1 wahr, in Stufe 2 falsch, in Stufe 3 wahr, usw.,
      also ist die Russellmenge eine „normale“ Stufenmenge.

      Ähnliches gilt für die oben definierte All-Menge,
      die wir gleich noch näher betrachten werden.

      Insbesondere gelten in der Stufenmengenlehre die Cantorschen Diagonalbeweise nicht
      und es wer den daher auch keine überabzählbaren Mengen benötigt.

      Zu Cantors Diagonalbeweis:
      Klassisch gilt ja der Satz von Cantor, dass keine Menge die gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge haben kann,
      und dies wird mit einem „Diagonalbeweis“ gezeigt:

      Man nimmt an, es gäbe eine Bijektion f von M auf P(M) und bildet dann die Menge Af,
      die genau aus allen M-Elementen x besteht, die nicht in ihrem Bild f(x) liegen:

      Af:= Menge aller x : x –e f(x) ( und x e M)

      Da Af selbst eine Menge aus M-Elementen ist, also ein Element der Potenzmenge P(M)
      muss es nach Annahme auch ein x0 geben mit f(x0) = Af.

      Dies führt aber auf einen Widerspruch:
      1. Fall: Es gilt x0 e f(x0) , dann liegt x0 nicht in Af, also x0 –e Af = f(x0), ein Widerspruch!
      2. Fall: Es gilt x0 -e f(x0) , dann liegt x0 in Af, also x0 e Af = f(x0), ein Widerspruch!
      Also ist die Existenz der Bijektion f nicht möglich.

      In der Stufenmengenlehre ist das anders:

      1. Beweis:
      Die All-Menge „All“ hatte ich ja wie folgt definiert:
      W(x e All, t+1) := W (w,t) = w für t>0 und =u für t=0.
      Die ALL-Menge ist also eine zulässige Stufenmenge.

      Für die All-Menge ist die Potenzmenge gerade die All-Menge: P(all) = All.
      Daher kann man als Bijektion f (in jeder Stufe t) die Identität wählen.
      Die All-Menge hat also die gleiche Mächtigkeit wie ihre Potenzmenge!

      2. Beweis:
      Wie ist das mit der Diagonalmenge Af in der Stufenmengenlehre?

      Sei eine Stufe t0 gegeben und f eine Bijektion von M auf P(M) in Stufe t0.
      Wir bilden nun analog: (Für Metaausagen wählen wir Stufe 1):
      W( x e Af, t+1) := W ( W(x e f(x), t) -= w , 1 ) & W( W( x e M, t0)=w , 1)

      Wieder muss es ein x0 geben mit W( x0 e M, t0)=w und f(x0) = Af.

      1.Fall: W(x0 e f(x0), t)= w .
      Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , 1 ) & W( W( x0 e M, t0)=w , 1) =
      W ( -w, 1) & w = -w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = -w.
      Dies ist kein Widerspruch,da es um verschiedene Stufen geht.
      (Mit der gleichen Stufe t+1 auf beiden Seiten wäre die Definition von x e Af
      nach Stufenregeln nicht zulässig)

      2. Fall: W(x0 e f(x0), t)= u . Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , 1 )
      & W( W( x0 e M, t0)=w , 1) = W ( w, 1f) & w = w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = w.
      Dies ist kein Widerspruch,da es um verschiedene Stufen geht.

      3. Fall: W(x0 e f(x0), t)= -w . Dann ist W( x0 e Af, t+1) = W ( W(x0 e f(x0), t) -= w , 1 )
      & W( W( x0 e M, t0)=w , 1) = W ( w, 1f) & w = w, d.h. W(x0 e f(x0), t+1) = w.
      Dies ist kein Widerspruch,da es um verschiedene Stufen geht.

      Jetzt betrachten wir noch Af für den Fall, dass M die Allmenge ist und f die Identität:

      W( x e Af, t+1) := W ( W(x e f(x), t) -= w , 1f) & W( W( x e All, t0)=w , 1)
      W( x e Af, t+1) := W ( W(x e x, t) -= w , 1f) (für t0>0 ist der letzte Term immer w).

      Nun finden wir in Af die Russell-Menge R wieder, wir hatten definiert:
      W(x e R, t+1) := W ( W(x e x, t) = -w oder W(x e x, t) = u , 1)

      Strenggenommen ist der 2. Beweis nicht stichhaltig, da eine andere Definition von Af zum Ziel führen könnte,
      aber der direkte Beweis über die All-Menge liegt ja vor –
      und der Zusammenhang mit der Russellmenge veranschaulicht vielleicht die Zusammenhänge in der Stufenmengenlehre ganz gut.

      Mit Stufenlogik und Stufenmengenlehre haben wir also wohl ein (zugegebenermaßen etwas unhandliches) Werkzeug,
      um die Mathematiker aus dem „Cantorschen Paradies“ der Überabzählbarkeiten
      zu vertreiben …


      Spannend ist vielleicht auch, dass die Beweise von Gödelzu den Unvollständigkeitssätzen mit Stufenmengenlehre wohl nicht mehr gültig sind.
      Allerdings konnte ich dies durch die fehlende Überabzählbarkeit,
      die Nichteindeutigkeit von Primfaktorzerlegungen und das generelle Aufheben
      von indirekten Beweisen mittels Stufen nur plausibel machen
      und noch nicht mathematisch streng beweisen.
      Könnte gern jemand eine Arbeit dazu erstellen.

      Gruß
      Trestone