Vorgehen bei der Gültigkeitsprüfung modaler Sätze

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    • Vorgehen bei der Gültigkeitsprüfung modaler Sätze

      Folgende beide modalen Sätze sollen nach ihrer intuitiven Gültigkeit überprüft werden:
      i. p -> (p v q)
      ii. (p -> q) -> (p->q)

      Vorgehen:
      Gültig ist ein Satz p, wenn er in allen möglichen Welten wahr ist. Also gilt, wenn es mindestens ein mögliche Welt gibt, in dem dieser Satz falsch ist, dann ist er nicht gültig. Dementsprechend versucht eine mögliche Welt zu finden, in der dieser Satz falsch ist.

      i. Wenn p in allen Welten wahr ist, dann ist p oder q in allen Welten wahr.
      Dieser Satz ist ungültig, wenn das Antecedens wahr ist und das Konsequenz falsch ist. Wenn gilt das p wahr ist, dann ist p wahr und damit ist (p v q) wahr, da die Disjunktion wahr wird, wenn eine der Teilaussagen wahr ist. Damit ist der Satz immer wahr.

      ii. (p -> q) -> (p->q) ist ungültig, wenn (p -> q) wahr ist und (p->q) falsch ist.
      Sei p:= Es regnet und q:=Strasse ist nass
      a. (p ->q) ist wahr, wenn in allen Welten in denen p (Es regnet) wahr ist, dann folgt auch q (Strasse ist nass) in allen Welten.
      b. ¬(p->q) ist wahr, wenn es mindestens eine Welt gibt, in der wenn p (Es regnet) wahr ist, dann q (Strasse ist nass) falsch ist.
      => da q nicht sowohl falsch als auch wahr sein kann, ist der Satz gültig.

      Ich weiß nicht, ob meine Begründung ausreichend und verständlich ist. Deshalb würde ich mich über Feedback freuen.

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    • RE: Vorgehen bei der Gültigkeitsprüfung modaler Sätze

      looki wrote:

      Folgende beide modalen Sätze sollen nach ihrer intuitiven Gültigkeit überprüft werden:
      i. p -> (p v q)
      ii. (p -> q) -> (p->q)

      Vorgehen:
      Gültig ist ein Satz p, wenn er in allen möglichen Welten wahr ist. Also gilt, wenn es mindestens ein mögliche Welt gibt, in dem dieser Satz falsch ist, dann ist er nicht gültig. Dementsprechend versucht eine mögliche Welt zu finden, in der dieser Satz falsch ist.
      Intuitive Gültigkeit ist ein ziemlich problematischer Begriff, da das Plausibilitätsempfinden sehr individuell ist. Prädikatenlogisch Existenz von Welten einzubeziehen, halte ich für eine formal sehr gewagte Sache.

      Ich würde folgendermaßen vorgehen:
      ii. [p->q] <=> [¬p vq] -> [(¬p v q)] <=> [(p -> q)]. Der zweite Schritt ist 'intuitiv' das Axiom, dass Notwendig schlicht das 'oder' der Aussagen beibehält(Halbverbandshomomorphie). Also gilt: (p -> q) -> (p->q)
      i. Aussagenlogisch ist [p -> (p v q)] eine Tautologie, p, q sowie (p v q) sind wiederum Aussagen, falls p,q Aussagen sind. Also gilt p -> (p vq). Falls ii. gilt (p vq) -> (p v q), ergo p -> (p v q). Also sind die beiden Aussagen sozusagen 'verwandt'.